3Modelos de frecuencia y severidad con cambios de coberturas
Vamos a usar lo que hemos aprendido de distribuciones en casos prácticos para seguros. En particular, cuando se tienen coberturas en la polizas se pueden modificar para reducir el riesgo que se asume, por parte del asegurador.
Llamamos a \(X\) la pérdida bruta, la cual se comparte (con el asegurado) o disminuye en términos de probabilidad.
Usaremos las letras \(d\) para deducibles, \(u\) para límite de póliza (u) y \(c\) para coaseguros.
3.1 Deducibles
3.1.1 Deducibles ordinarios
Un deducibles ordinario modifica una variable aleatoria en el exceso de pérdida. Es decir, el asegurador no paga nada hasta un monto \(d\), y luego paga sobre el monto \(X-d\).
Por pérdida la variable es:
\[\begin{equation*}
Y^{L}=(X-d)_+= \begin{cases}0, & X \leq d \\ X-d, & X>d\end{cases}
\end{equation*}\]
Esta variable es equivalente a \(Y^{P}=Y^{L}\mid Y^{L}\).
Tratemos de entender el efecto de un deducible a través de una simulación. Suponga que se va a generar 1000 variables aleatorias pareto de modo que se pueda estimar las variables aleatorias \(Y^P\) Y \(Y^L\).
En este caso, las pérdidas siguen una pareto con parámetros \(\alpha=3\) y \(\theta=2000\). Y suponga que el deducible es \(d=500\).
Encuentre las fórmulas exactas como en la parte anterior y trate de dibujar las funciones usando R.
3.2 Propiedades de los deducibles
Para un deducible ordinario, la esperanza del costo por pérdida es \[E(X)-E(X \wedge d)\] La esperanza del costo por pago es \[\frac{E(X)-E(X \wedge d)}{1-F(d)}\] Para un deducible de franquicia la esperanza del costo por pérdida es \[E(X)-E(X \wedge d)+d[1-F(d)]\] y la esperanza del costo por pago es \[\frac{E(X)-E(X \wedge d)}{1-F(d)}+d\]
Con el ejemplo de la pareto de las dos partes anteriores, encuentre el valor esperado de la pérdida.
La tasa de eliminación de pérdidas es la razón de la disminución en el esperado pago con deducible ordinario al pago esperado sin deducible.
Sin deducible se espera un pago de \(E(X)\) y con deducible es \(\mathrm{E}(X)-\mathrm{E}(X \wedge d)\). Entonces la tasa es: \[\frac{\mathrm{E}(X)-[\mathrm{E}(X)-\mathrm{E}(X \wedge d)]}{\mathrm{E}(X)}=\frac{\mathrm{E}(X \wedge d)}{\mathrm{E}(X)}\]
Nota:
\[\mathrm{E}(X \wedge u)=-\int_{-\infty}^{0} F(x) d x+\int_{0}^{u} S(x) d x\]
Note que para el caso del deducible ordinario, se tiene que
Si se tiene una tasa \(r\) constante de inflación, entonces la esperanza de del costo por pérdida es \[\begin{equation*}
(1+r)\{\mathrm{E}(X)-\mathrm{E}[X \wedge d /(1+r)]\}
\end{equation*}\]
Para el costo por pago es simplemente \[\begin{equation*}
\frac{(1+r)\{\mathrm{E}(X)-\mathrm{E}[X \wedge d /(1+r)]\}}{1-F[d /(1+r)]}
\end{equation*}\]
Suponiendo un deducible ordinario y una tasa del 10% anual, determine incremento después de inflación en la pérdida esperada. Haga los casos de costos por pérdidas y por pagos.
3.5 Límites en póliza
Es el opuesto a un deducible, es decir el seguro paga pérdidas por debajo del límite \(u\), y si son superiores paga \(u\). \[Y_{U}= \begin{cases}X, & X<u \\ u, & X \geq u\end{cases}\]
\[F_{Y_U}(x)= \begin{cases}F_{X}(x), & x<u \\ 1, & x \geq u\end{cases}\] y \[f_{Y_U}(y)= \begin{cases}f_{X}(x), & x<u \\ 1-F_{X}(u), & x=u\end{cases}\]
Tomando como base los anteriores ejemplos, use la pareto \(\alpha=3\) y \(\theta=2000\) con un límite de \(u=3000\). Encuentre el valor esperado, la forma de la distribución (usando R). Adicionalmente, calcule la esperanza si se tiene una inflación de 10%.
3.6 Coseguros
Una póliza de seguro puede especificar que el asegurador y el asegurado comparten la pérdida en un evento de pérdida, a eso se le llama coseguro. El asegurador paga al asegurado una parte fija \(c\) de la pérdida en un evento de pérdida, donde \(0 <c <1\). Denotamos \(Xc\) como el pago realizado por la aseguradora con coseguro. Tenemos:
Para la variable de pérdida la esperanza es: \[\mathrm{E}\left(X^{L}\right)=c(1+r)\left[\mathrm{E}\left(X \wedge \frac{u}{1+r}\right)-\mathrm{E}\left(X \wedge \frac{d}{1+r}\right)\right]\] El valor esperado de la variable de pago es: \[\mathrm{E}\left(X^{P}\right)=\frac{\mathrm{E}\left(X^{L}\right)}{1-F_{X}\left(\frac{d}{1+r}\right)}\]
Con el ejemplo de la pareto, trate de encontrar la función de distribución, densidad, sobrevivencia y riesgo, de una deducible con \(d=500\), un límite de poliza de 2500, es decir, que el máximo de coberturas por pérdida es \(u=3000\).
3.8 Distribuciones compuestas
Si se tiene la siguiente forma \(S=M_1+M_2+\cdots+M_N\), donde \(M\) y \(N\) son dos distribuciones discretas, entonces llamamos a la distribución compuesta,
3.9 Impacto de deducibles en la frencuencia de reclamos
Cuando se impone o aumenta un deducible, habrá menos pagos por período, mientras que si se reduce un deducible, habrá más pagos.
Podemos cuantificar este proceso si se puede suponer que la imposición de cobertura modificaciones no afecta el proceso que produce pérdidas o el tipo de individuo que comprará un seguro.
Suponga que \(X_j\), la severidad, representa la pérdida en la \(j\)-ésimo periodo, cuando no hay modificaciones de cobertura.
Sea \(N^L\) el número de pérdidas y considere una modificación de cobertura tal que \(v\) es la probabilidad de que una pérdida resulte en una pago. Es decir, si hay un deducible \(d\), entonces \(v=\operatorname{Pr}(X>d)\)
A continuación, defina el Indicador variable aleatoria \(I_j\) por \(I_j=1\) si la variable de pérdida resulta en un pago y \(I_j=0\) de lo contrario. \(I_j\) es Bernoulli de parámetro \(v\), es decir \(P_{I_{j}}(z)=1-v+v z\)
\(N^{P}=I_{1}+\cdots+I_{N^{L}}\) representa el número de pagos.
Si los \(I_j\)’s son independientes, entonces son independientes de \(N^L\) y \(N^P\) tiene una distribución compuesta: con la distribución \(N^L\) primaria y la bernoulli secundaria. Es decir: \[P_{N^{P}}(z)=P_{N^{L}}\left[P_{I_{j}}(z)\right]=P_{N^{L}}[1+v(z-1)]\]
Si se tiene que \(P_{N^{L}}(z)=P_{N^{L}}(z ; \theta)=B[\theta(z-1)]\), entonces \[\begin{equation*}
\begin{aligned}
P_{N^{P}}(z) &=B[\theta(1-v+v z-1)] \\
&=B[v \theta(z-1)] \\
&=P_{N^{L}}(z ; v \theta)
\end{aligned}
\end{equation*}\]
Es decir que \(N^{L}\) y \(N^{P}\) son de la misma familia paramétrica, solo que con diferente \(\theta\).
Suponga que se tiene perdidas Pareto con \(\alpha=3\) y \(\theta=1000\). La distribución de eventos \(N^{L}\) es binomial negativa con \(r=2\). Además se tiene un deduciblde de 250.
La binomial negativa es \(P_{N^L}(z)=[1-\beta(z-1)]^{-r}\).
Entonces \(N^P\) tiene uan distribución binomial negativa con parametros \(r^*=r\) y \(\beta^*=v \beta\).
Para nuestro caso \[\begin{equation*}
v=1-F(250)=\left(\frac{1,000}{1,000+250}\right)^3=0.512
\end{equation*}\] y por lo tanto \(r^*=2\) and \(\beta^*=3(0.512)=1.536\).
Repita este ejemplo pero use una distribución binomial negativa modificada en cero con \(r=2\), \(\beta=3\) y \(p_0^{M}=0.4\).
3.10 Ejercicios
La distribución del pago de un seguro sigue una exponencial con media 1000. La compañía de seguros va a pagar el monto de reclamo sobre el exceso de un deducible de 100. (Recuerde que puede existir al posibilidad de que el monto pagado sea 0).
Defina la variable aleatoria que corresponde a este deducible en términos de la variable aleatoria exponencial (\(X\)). Llámela a esta nueva variable \(Y^L\).
Dibuje la función de densidad y distribución de \(X\) y \(Y^L\). Comente el resultado.
Calcule la esperanza y varianza de \(Y^L\).
En clase vimos que se puede definir \(Y^P = Y^L\vert X>d\). Usando este hecho estime la esperanza y varianza de \(Y^L\) usando \(Y^P\).
Permita variar el deducible de 50 hasta 500. ¿Cuál es la tasa de eliminación para cada caso?
La pérdida total para cierta enfermedad en el 2019 es una variable aleatoria \(X\) con distribución exponencial con media 1000. Un seguro paga la pérdida sobre el deducible de 100 con un pago máximo de 500. La pérdida total se espera se 5% más grande en 2020 pero la compañía de seguros decide mantener los mismos deducibles del 2019.
Encuentre el porcentaje esperado de aumento en el costo del 2019 al 2020.
¿Podría dibujar la densidad de esta pérdida?
Suponga que el monto de pérdida es \(X_i\sim Pareto (\alpha=4, \theta=150)\). Se tiene que la frecuencia de las pérdidas es \(N^L\sim Poisson(\lambda)\) y que la frecuencia de los pagos es \(N^P \sim Poisson(0.4)\) a un deducible \(d=30\).
Encuentra de la distribución de pagos cuando \(d=31,...150\)
En un seguro grupal, la compañía de seguros acuerda pagar 100% de los gastos médicos de una empresa pequeña hasta un máximo de un millón de dólares. El total de reclamos incurridos, \(X\), tiene una función de densidad
Gráfique la función de densidad de \(X \wedge 1\) y estime su esperanza.
Suponga que la severidad de los reclamos \(X\) se distribuye como \(\mathrm{Exp}(0.01)\). La póliza tiene un deducible \(d = 20\), pérdida máxima cubierta \(u = 200\) y factor de coseguro \(c = 0.8\). Calcule la pérdida esperada, sujeto a un ajuste por inflación del 1% y sin ajustes en factores de la póliza.
Solución. Para una exponencial \[\mathrm{E}(X \wedge a)=\frac{-1}{\lambda} e^{-a \lambda}+\frac{-1}{\lambda}\]