Vamos a usar lo que hemos aprendido de distribuciones en casos prácticos para seguros. En particular, cuando se tienen coberturas en la polizas se pueden modificar para reducir el riesgo que se asume, por parte del asegurador.
Un deducibles ordinario modifica una variable aleatoria en el exceso de pérdida. Es decir, el asegurador no paga nada hasta un monto \(d\), y luego paga sobre el monto \(X-d\).
Por pérdida la variable es:
\[\begin{equation*} Y^{L}=(X-d)_+= \begin{cases}0, & X \leq d \\ X-d, & X>d\end{cases} \end{equation*}\]
\[\begin{equation*} f_{Y^{L}}(y)=f_{X}(y+d), y>0 \end{equation*}\]
\[\begin{equation*} \begin{array}{l} S_{Y^{L}}(y)=S_{X}(y+d) \\ F_{Y^{L}}(y)=F_{X}(y+d) . \end{array} \end{equation*}\]
Por pago la variable es:
\[\begin{equation*} Y^{P}= \begin{cases}\text { indefinida, } & X \leq d \\ X-d, & X>d\end{cases} \end{equation*}\]
\[\begin{equation*} f_{Y^{P}}(y)=\frac{f_{X}(y+d)}{S_{X}(d)}, y>0 \end{equation*}\]
\[\begin{equation*} \begin{aligned} S_{Y^{P}}(y) &=\frac{S_{X}(y+d)}{S_{X}(d)}, \\ F_{Y^{P}}(y) &=\frac{F_{X}(y+d)-F_{X}(d)}{1-F_{X}(d)}, \\ h_{Y^{P}}(y) &=\frac{f_{X}(y+d)}{S_{X}(y+d)}=h_{X}(y+d) . \end{aligned} \end{equation*}\]
Esta variable es equivalente a \(Y^{P}=Y^{L}\mid Y^{L}\).
Tratemos de entender el efecto de un deducible a través de una simulación. Suponga que se va a generar 1000 variables aleatorias pareto de modo que se pueda estimar las variables aleatorias \(Y^P\) Y \(Y^L\).
En este caso, las pérdidas siguen una pareto con parámetros \(\alpha=3\) y \(\theta=2000\). Y suponga que el deducible es \(d=500\).
Para \(Y_L\) se tiene que
\[\begin{equation*} \int_0^\infty \frac{3(2000)^3}{(y+2500)^{4}}dy = 0.512. \end{equation*}\]
Por lo tanto la masa para \(y=0\) es 0.488. El resto de cálculos resultan de las fórmulas anteriores.
\[\begin{align*} f_{Y^{L}}(y)&= \begin{cases} 0.488, & y=0, \\ \frac{3(2,000)^{3}}{(2,500+y)^{4}}, & y>0, \end{cases} \\ S_{Y^{L}}(y)&= \begin{cases} 0.512, & y=0, \\ \frac{(2,000)^{3}}{(2,500+y)^{3}}, & y>0 \end{cases}\\ F_{Y^{L}}(y)&= \begin{cases} 0.488, & y=0, \\ 1-\frac{(2,000)^{3}}{(2,500+y)^{3}}, & y>0, \end{cases}\\ h_{Y^{L}}(y)&= \begin{cases} \text { undefined, } & y=0, \\ \frac{3}{2,500+y}, & y>0 \end{cases} \end{align*}\]
\[\begin{align*} f_{Y^{P}}(y) &=\frac{3(2,000)^{3}(2,000+y+500)^{-4}}{(2,000)^{3}(2,000+500)^{-3}}=\frac{3(2,500)^{3}}{(2,500+y)^{4}} \\ S_{Y^{P}}(y) &=\left(\frac{2,500}{2,500+y}\right)^{3} \\ F_{Y^{P}}(y) &=1-\left(\frac{2,500}{2,500+y}\right)^{3} \\ h_{Y^{P}}(y) &=\frac{3}{2,500+y} \end{align*}\]
library(actuar)
Attaching package: 'actuar'The following objects are masked from 'package:stats':
sd, varThe following object is masked from 'package:grDevices':
cmx <- 0:5000
fpareto <- dpareto(x, shape = 3, scale = 2000)
plot(x, fpareto)
n <- 100000
pareto_aleatorio <- rpareto(n, shape = 3, scale = 2000)
hist(pareto_aleatorio, freq = FALSE, breaks = 1000) 
idx <- pareto_aleatorio > 500YL <- numeric(n)
YL[idx] <- pareto_aleatorio[idx] - 500
YL[!idx] <- 0
hYL <- hist(YL, breaks = 1000, freq = FALSE, xlim = c(0, 5000))
mean(YL == 0)[1] 0.4886YLplot <- YL[YL <= 5000]
x <- 1:5000
fYL <- 3 * (2000)^3 / (2500 + x)^4
plot(1:5000, fYL)
points(hYL$mids, hYL$density, col = "red", type = "h")
YP <- NA
YP[idx] <- pareto_aleatorio[idx] - 500
hYP <- hist(YP, breaks = 5000, freq = FALSE)
mean(YP == 0)[1] NAfYP <- dpareto(1:5000, shape = 3, scale = 2500)
plot(1:5000, fYP)
points(hYP$mids, hYP$density, col = "red", type = "h")
plot(1:5000, fYP, type = "l", col = "blue")
lines(1:5000, fYL, col = "red")
Un deducible de franquicia modifica el deducible ordinario sumando el deducible cuando hay una cantidad positiva pagada.
Por pérdida la variable es:
\[\begin{equation*} X^{L}= \begin{cases}0, & X \leq d \\ X, & X>d\end{cases} \end{equation*}\]
\[\begin{equation*} \begin{array}{l} f_{Y^{L}}(y)=\left\{\begin{array}{ll} F_{X}(d), & y=0, \\ f_{X}(y), & y>d, \end{array} \quad S_{Y^{L}}(y)=\left\{\begin{array}{ll} S_{X}(d), & 0 \leq y \leq d, \\ S_{X}(y), & y>d, \end{array}\right.\right. \\ F_{Y^{L}}(y)=\left\{\begin{array}{ll} F_{X}(d), & 0 \leq y \leq d, \\ F_{X}(y), & y>d, \end{array} h_{Y^{L}}(y)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & 0<y<d, \\ h_{X}(y), & y>d \end{array}\right.\right. \end{array} \end{equation*}\]
Por pago la variable es:
\[\begin{equation*} X^{P}= \begin{cases}\text { indefinida, } & X \leq d \\ X, & X>d\end{cases} \end{equation*}\]
\[\begin{align*} f_{Y^{P}}(y)=& \frac{f_{X}(y)}{S_{X}(d)}, y>d, \qquad\qquad\qquad\qquad S_{Y^{P}}(y)= \begin{cases} 1, & 0 \leq y \leq d, \\ \frac{S_{X}(y)}{S_{X}(d)}, & y>d, \end{cases}\\ F_{Y^{P}}(y)=& \begin{cases} 0, & 0 \leq y \leq d, \\ \frac{F_{X}(y)-F_{X}(d)}{1-F_{X}(d)}, & y>d \end{cases} \qquad h_{Y^{P}}(y)= \begin{cases} 0, & 0<y<d \\ h_{X}(y), & y>d \end{cases} \end{align*}\]
Encuentre las fórmulas exactas como en la parte anterior y trate de dibujar las funciones usando R.
Para un deducible ordinario, la esperanza del costo por pérdida es \[E(X)-E(X \wedge d)\] La esperanza del costo por pago es \[\frac{E(X)-E(X \wedge d)}{1-F(d)}\] Para un deducible de franquicia la esperanza del costo por pérdida es \[E(X)-E(X \wedge d)+d[1-F(d)]\] y la esperanza del costo por pago es \[\frac{E(X)-E(X \wedge d)}{1-F(d)}+d\]
Con el ejemplo de la pareto de las dos partes anteriores, encuentre el valor esperado de la pérdida.
Para una pareto se tiene que
\[\begin{align*} F(x)&=1-\left(\frac{\theta}{x+\theta}\right)^\alpha\\ \mathrm{E}[X \wedge x]&=\frac{\theta}{\alpha-1}\left[1-\left(\frac{\theta}{x+\theta}\right)^{\alpha-1}\right], \quad \alpha \neq 1, \end{align*}\]
La tasa de eliminación de pérdidas es la razón de la disminución en el esperado pago con deducible ordinario al pago esperado sin deducible.
Sin deducible se espera un pago de \(E(X)\) y con deducible es \(\mathrm{E}(X)-\mathrm{E}(X \wedge d)\). Entonces la tasa es:
\[\frac{\mathrm{E}(X)-[\mathrm{E}(X)-\mathrm{E}(X \wedge d)]}{\mathrm{E}(X)}=\frac{\mathrm{E}(X \wedge d)}{\mathrm{E}(X)}\]
Nota:
\[\mathrm{E}(X \wedge u)=-\int_{-\infty}^{0} F(x) d x+\int_{0}^{u} S(x) d x\]
Note que para el caso del deducible ordinario, se tiene que
d <- 1:1000
theta <- 2000
alpha <- 3
ev_x_min_d <- (theta / (alpha - 1)) * (1 - (theta / (d + theta))^(alpha - 1))
ev_x <- theta / (alpha - 1)
ratio <- ev_x_min_d / ev_x
plot(d, ratio)
Si se tiene una tasa \(r\) constante de inflación, entonces la esperanza de del costo por pérdida es
\[\begin{equation*}
(1+r)\{\mathrm{E}(X)-\mathrm{E}[X \wedge d /(1+r)]\}
\end{equation*}\]
Para el costo por pago es simplemente \[\begin{equation*} \frac{(1+r)\{\mathrm{E}(X)-\mathrm{E}[X \wedge d /(1+r)]\}}{1-F[d /(1+r)]} \end{equation*}\]
Suponiendo un deducible ordinario y una tasa del 10% anual, determine incremento después de inflación en la pérdida esperada. Haga los casos de costos por pérdidas y por pagos.
Es el opuesto a un deducible, es decir el seguro paga pérdidas por debajo del límite \(u\), y si son superiores paga \(u\). \[Y_{U}= \begin{cases}X, & X<u \\ u, & X \geq u\end{cases}\]
\[F_{Y_U}(x)= \begin{cases}F_{X}(x), & x<u \\ 1, & x \geq u\end{cases}\] y \[f_{Y_U}(y)= \begin{cases}f_{X}(x), & x<u \\ 1-F_{X}(u), & x=u\end{cases}\]
La pérdida esperada después de inflación es
\[\begin{equation*} (1+r) \mathrm{E}\left[X \wedge \frac{u}{1+r}\right] \end{equation*}\]
Tomando como base los anteriores ejemplos, use la pareto \(\alpha=3\) y \(\theta=2000\) con un límite de \(u=3000\). Encuentre el valor esperado, la forma de la distribución (usando R). Adicionalmente, calcule la esperanza si se tiene una inflación de 10%.
Una póliza de seguro puede especificar que el asegurador y el asegurado comparten la pérdida en un evento de pérdida, a eso se le llama coseguro. El asegurador paga al asegurado una parte fija \(c\) de la pérdida en un evento de pérdida, donde \(0 <c <1\). Denotamos \(Xc\) como el pago realizado por la aseguradora con coseguro. Tenemos:
\[Y_{C}=c X\]
\[f_{Y_{C}}(x)=\frac{1}{c} f_{X}\left(\frac{x}{c}\right)\]
\[\mathrm{E}\left(Y_{C}\right)=c \mathrm{E}(X)\]
La variable de pérdida, para todas las modificaciones estudiadas es:
\[X^{L}= \begin{cases}0, & X<\frac{d}{1+r} \\ c[(1+r) X-d], & \frac{d}{1+r} \leq X<\frac{u}{1+r} \\ c(u-d), & X \geq \frac{u}{1+r}\end{cases}\]
Para la variable de pérdida la esperanza es: \[\mathrm{E}\left(X^{L}\right)=c(1+r)\left[\mathrm{E}\left(X \wedge \frac{u}{1+r}\right)-\mathrm{E}\left(X \wedge \frac{d}{1+r}\right)\right]\] El valor esperado de la variable de pago es: \[\mathrm{E}\left(X^{P}\right)=\frac{\mathrm{E}\left(X^{L}\right)}{1-F_{X}\left(\frac{d}{1+r}\right)}\]
Con el ejemplo de la pareto, trate de encontrar la función de distribución, densidad, sobrevivencia y riesgo, de una deducible con \(d=500\), un límite de poliza de 2500, es decir, que el máximo de coberturas por pérdida es \(u=3000\).
Si se tiene la siguiente forma \(S=M_1+M_2+\cdots+M_N\), donde \(M\) y \(N\) son dos distribuciones discretas, entonces llamamos a la distribución compuesta,
\[\begin{equation*} P_S(z)=P_N\left[P_M(z)\right] \end{equation*}\]
donde \(P_N(z)\) y \(P_M(z)\) se llaman las distribuciones primarias y secundarias respectivamente.
La prueba de esta forma es la siguiente
\[\begin{equation*} \begin{aligned} P_S(z) &=\sum_{k=0}^{\infty} \operatorname{Pr}(S=k) z^k=\sum_{k=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \operatorname{Pr}(S=k \mid N=n) \operatorname{Pr}(N=n) z^k \\ &=\sum_{n=0}^{\infty} \operatorname{Pr}(N=n) \sum_{k=0}^{\infty} \operatorname{Pr}\left(M_1+\cdots+M_n=k \mid N=n\right) z^k \\ &=\sum_{n=0}^{\infty} \operatorname{Pr}(N=n)\left[P_M(z)\right]^n \\ &=P_N\left[P_M(z)\right] . \end{aligned} \end{equation*}\]
Cuando se impone o aumenta un deducible, habrá menos pagos por período, mientras que si se reduce un deducible, habrá más pagos.
Podemos cuantificar este proceso si se puede suponer que la imposición de cobertura modificaciones no afecta el proceso que produce pérdidas o el tipo de individuo que comprará un seguro.
Suponga que \(X_j\), la severidad, representa la pérdida en la \(j\)-ésimo periodo, cuando no hay modificaciones de cobertura.
Sea \(N^L\) el número de pérdidas y considere una modificación de cobertura tal que \(v\) es la probabilidad de que una pérdida resulte en una pago. Es decir, si hay un deducible \(d\), entonces \(v=\operatorname{Pr}(X>d)\)
A continuación, defina el Indicador variable aleatoria \(I_j\) por \(I_j=1\) si la variable de pérdida resulta en un pago y \(I_j=0\) de lo contrario. \(I_j\) es Bernoulli de parámetro \(v\), es decir \(P_{I_{j}}(z)=1-v+v z\)
\(N^{P}=I_{1}+\cdots+I_{N^{L}}\) representa el número de pagos.
Si los \(I_j\)’s son independientes, entonces son independientes de \(N^L\) y \(N^P\) tiene una distribución compuesta: con la distribución \(N^L\) primaria y la bernoulli secundaria. Es decir: \[P_{N^{P}}(z)=P_{N^{L}}\left[P_{I_{j}}(z)\right]=P_{N^{L}}[1+v(z-1)]\]
Si se tiene que \(P_{N^{L}}(z)=P_{N^{L}}(z ; \theta)=B[\theta(z-1)]\), entonces \[\begin{equation*} \begin{aligned} P_{N^{P}}(z) &=B[\theta(1-v+v z-1)] \\ &=B[v \theta(z-1)] \\ &=P_{N^{L}}(z ; v \theta) \end{aligned} \end{equation*}\]
Es decir que \(N^{L}\) y \(N^{P}\) son de la misma familia paramétrica, solo que con diferente \(\theta\).
Suponga que se tiene perdidas Pareto con \(\alpha=3\) y \(\theta=1000\). La distribución de eventos \(N^{L}\) es binomial negativa con \(r=2\). Además se tiene un deduciblde de 250.
La binomial negativa es \(P_{N^L}(z)=[1-\beta(z-1)]^{-r}\).
Entonces \(N^P\) tiene uan distribución binomial negativa con parametros \(r^*=r\) y \(\beta^*=v \beta\).
Para nuestro caso \[\begin{equation*} v=1-F(250)=\left(\frac{1,000}{1,000+250}\right)^3=0.512 \end{equation*}\] y por lo tanto \(r^*=2\) and \(\beta^*=3(0.512)=1.536\).
Repita este ejemplo pero use una distribución binomial negativa modificada en cero con \(r=2\), \(\beta=3\) y \(p_0^{M}=0.4\).
La distribución del pago de un seguro sigue una exponencial con media 1000. La compañía de seguros va a pagar el monto de reclamo sobre el exceso de un deducible de 100. (Recuerde que puede existir al posibilidad de que el monto pagado sea 0).
La pérdida total para cierta enfermedad en el 2019 es una variable aleatoria \(X\) con distribución exponencial con media 1000. Un seguro paga la pérdida sobre el deducible de 100 con un pago máximo de 500. La pérdida total se espera se 5% más grande en 2020 pero la compañía de seguros decide mantener los mismos deducibles del 2019.
Encuentre el porcentaje esperado de aumento en el costo del 2019 al 2020.
¿Podría dibujar la densidad de esta pérdida?
Suponga que el monto de pérdida es \(X_i\sim Pareto (\alpha=4, \theta=150)\). Se tiene que la frecuencia de las pérdidas es \(N^L\sim Poisson(\lambda)\) y que la frecuencia de los pagos es \(N^P \sim Poisson(0.4)\) a un deducible \(d=30\).
Encuentra de la distribución de pagos cuando \(d=31,...150\)
En un seguro grupal, la compañía de seguros acuerda pagar 100% de los gastos médicos de una empresa pequeña hasta un máximo de un millón de dólares. El total de reclamos incurridos, \(X\), tiene una función de densidad
\[ f_X(x) = \begin{cases} \frac{x(4-x)}{9} & 0<x<3 \\ 0 & \text{en otro caso.} \end{cases} \]
donde \(x\) está medido en millones de dólares.
Gráfique la función de densidad de \(X \wedge 1\) y estime su esperanza.
Suponga que la severidad de los reclamos \(X\) se distribuye como \(\mathrm{Exp}(0.01)\). La póliza tiene un deducible \(d = 20\), pérdida máxima cubierta \(u = 200\) y factor de coseguro \(c = 0.8\). Calcule la pérdida esperada, sujeto a un ajuste por inflación del 1% y sin ajustes en factores de la póliza.
Solución. Para una exponencial \[\mathrm{E}(X \wedge a)=\frac{-1}{\lambda} e^{-a \lambda}+\frac{-1}{\lambda}\]
sustituimos en \(E(X^L)\)
\[=0.8 \cdot 1.01(-100e^{(-0.01 \cdot 200/1.01)}+100-(-100e^{((-0.01 \cdot 20/1.01))}+100))\\ =56.9275\]